Bilangan Digital

Sistem bilangangan digital

Sistem bilanagan yanga di gunakan dalam pengoprasiansuatu mesin digital, yaitu sistem

Bilangan BINER,  OKTAL,, DESIMAL dan HEKSA DESIMAL. Masing masing system bilangan mempunyai jumlah lambing bilangan tertentu yang disebut RADIX.

Radix adalah banyaknya suku angaka atau digit yang dipergunakan dalam suatu sistem bilangan.

                                Sistem bilangan BINER mempunyai Radix 2

Sitem bilanagn OKTAL mempunyai Radix 8

Sistem bilanagn DESIMAL mempunyai Radix 10

Sistem bilanagan HEKSA DESAMALmempunyai Radix 16

            Secara umum bilanagan RADIX dapat diberikan dengan persamaan R = n + 1

            Dimana :

                        n  = angka akhir bilanagan

                        R = Radix

            Jumlah Dugit untuk masing – masing system bilanagan :

            Bilanagan BINER (2  digit) : 0,1

            Bilanagan OKTAL (8 digit) : 0,1,2,3,4,5,6,7

            Bilanagan DESIMAL (10 digit) : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

            Bilanagan HEXSADESIMAL ( 16 digit) : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F


 

Bobot bilanagan Biner

 

Sistem  Bilangan  dan  Aritmatika  Biner

1. Sistem  desimal  dan  biner

Dalam  sistem   bilangan  desimal,  nilai  yang  terdapat  pada kolom  ketiga  pada  Tabel  11,  yaitu  A,  disebut  satuan,  kolom kedua  yaitu  B  disebut  puluhan,  C  disebut  ratusan,  dan seterusnya.  Kolom  A,  B,  C  menunjukkan  kenaikan  pada

eksponen  dengan  basis  10  yaitu  10⁰ = 1,  10¹ = 10, 1 0² =100. 

Dengan  cara  yang  sama,  setiap  kolom  pada  sistem bilangan  biner,  yaitu sistem  bilangan  dengan  basis, menunjukkan  eksponen  dengan  basis  2,  yaitu  2⁰ = 1, 2¹ = 2,  2²  =  4,  dan  seterusnya.

 

Tabel  12.  Nilai  Bilangan  Desimal  dan  Biner

Setiap  digit  biner  disebut  bit;  bit  paling  kanan  disebut  least significant  bit  (LSB),  dan  bit  paling  kiri  disebut  most  significant  bit  (MSB). 

 Tabel  13.  Daftar  Bilangan  Desimal  dan  Bilangan  Biner Ekivalensinya

 Untuk  membedakan  bilangan  pada  sistem  yang  berbeda digunakan  subskrip.  Sebagai  contoh  9₁₀  menyatakan bilangan  sembilan  pada  sistem  bilangan  desimal,  dan 01101₂  menunjukkan  bilangan  biner  01101.  Subskrip tersebut  sering  diabaikan  jika  sistem  bilangan  yang  dipakai sudah  jelas.

Tabel  14.  Contoh  Pengubahan  Bilangan  Biner  menjadi Desimal

 Konversi  Desimal  ke  Biner

Cara  untuk  mengubah  bilangan  desimal  ke  biner  adalah dengan  pembagian.  Bilangan  desimal  yang  akan  diubah secara  berturut-turut  dibagi  2,  dengan  memperhatikan sisa  pembagiannya.  Sisa  pembagian  akan  bernilai  0  atau

1,  yang  akan  membentuk  bilangan  biner  dengan  sisa yang  terakhir  menunjukkan  MSBnya.  Sebagai  contoh, untuk  mengubah  52₁₀  menjadi  bilangan  biner,

diperlukan  langkah-langkah  berikut :

52 : 2    =    26 sisa 0, LSB

26 : 2    =    13 sisa 0

13 : 2    =      6 sisa 1

6 :  2     =     3 sisa 0

3 : 2      =     1 sisa 1

1 : 2      =     0 sisa 1, MSB

Sehingga  bilangan  desimal  52₁₀  akan  diubah  menjadi bilangan  biner  110100.

Cara  di  atas  juga  bisa  digunakan  untuk  mengubah sistem  bilangan  yang  lain,  yaitu  oktal  atau heksadesimal.

2. Bilangan  Oktal

Bilangan  Oktal  adalah  sistem  bilangan  yang  berbasis  8 dan  mempunyai  delapan  simbol  bilangan  yang  berbeda  : 0,1,2,….,7.

Teknik  pembagian  yang  berurutan  dapat  digunakan  untuk mengubah  bilangan  desimal  menjadi  bilangan  oktal. Bilangan  desimal  yang  akan  diubah  secara  berturut-turut dibagi  dengan  8  dan  sisa  pembagiannya  harus  selalu

dicatat.  Sebagai  contoh,  untuk  mengubah  bilangan  5819₁₀

ke  oktal,  langkah-langkahnya  adalah  :

  5819 : 8  = 727,  sisa 3, LSB

  727 :  8   = 90,     sisa 7

  90 :  8    = 11,      sisa 2

  11 :  8    = 1,        sisa 3

  1 : 8       = 0,        sisa 1, MSB

Sehingga  5819₁₀ =  13273₈

• Bilangan  Oktal  dan  Biner

Setiap  digit  pada  bilangan  oktal  dapat  disajikan dengan  3  digit  bilangan  biner,  lihat  Tabel  1.5.  Untuk mengubah  bilangan  oktal  ke  bilangan  biner,  setiap

digit  oktal  diubah  secara  terpisah.  Sebagai  contoh, 3527₈  akan  diubah  sebagai  berikut:

3₈ = 011_2,  MSB

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂,  LSB

Sehingga  bilangan  oktal  3527  sama  dengan  bilangan 011  101  010  111. Sebaliknya,  pengubahan  dari  bilangan  biner  ke bilangan  oktal  dilakukan  dengan mengelompokkan setiap  tiga  digit  biner  dimulai  dari  digit  paling  kanan,

LSB.  Kemudian,  setiap  kelompok  diubah  secara terpisah  ke  dalam  bilangan  oktal.  Sebagai  contoh, bilangan  11110011001₂  akan  dikelompokkan  menjadi

11  110  011  001,  sehingga.

   11₂   = 38,  MSB

  110₂  = 68

 011₂   = 38

 001₂  =  18,  LSB

Jadi,  bilangan  biner  11110011001  apabila  diubah menjadi  bilangan  oktal  akan  diperoleh  36318.

3. Bilangan  Hexadesimal

Bilangan  heksadesimal,  sering  disingkat  dengan  hex, adalah  bilangan  dengan  basis  1610,  dan  mempunyai  16

simbol  yang  berbeda,  yaitu  0  sampai  dengan  15.

Bilangan  yang  lebih  besar  dari  1510  memerlukan  lebih  dari satu  digit  hex.  Kolom  heksadesimal  menunjukkan  eksponen dengan  basis  16,  yaitu  16⁰ = 1,  16¹ = 16,  16² = 256, dan seterusnya.  Sebagai  contoh  :

152B₁₆ =  (1 x 16³) + (5 x 16²) + (2 x 16¹) + (11 x 16⁰)

 =  1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1

            =  4096 + 1280 + 32 + 11

            =  5419₁₀

Sebaliknya,  untuk  mengubah  bilangan  desimal  menjadi bilangan  heksadesimal,  dapat  dilakukan  dengan  cara membagi  bilangan  desimal  tersebut  dengan  16.  Sebagai

contoh,  untuk  mengubah  bilangan  3408₁₀  menjadi  bilangan heksadesimal,  dilakukan  dengan  langkah-langkah  sebagai berikut  :

  3409/16  = 213, sisa   1₁₀ = 11₆,  LSB

  213/16 =   13,  sisa   5₁₀ = 5₁₆

  13/16  =     0,  sisa 13₁₀ = D₁₆,  MSB

Sehingga,  3409₁₀ = D51_16.

• Bilangan  Hexadesimal  dan  Biner

Setiap  digit  pada  bilangan  heksadesimal  dapat  disajikan dengan  empat  buah  bit.

Untuk  mengubah  bilangan  heksadesimal  menjadi bilangan  biner,  setiap  digit  dari  bilangan  heksadesimal diubah  secara  terpisah  ke  dalam  empat  bit  bilangan

biner.  Sebagai  contoh,  2A5C₁₆  dapat  diubah  ke  bilangan

biner  sebagai  berikut.

  2₁₆ =   0010,  MSB

  A₁₆ =  1010

  5₁₆ =   0101

  C₁₆ =  1100,  LSB

Sehingga,  bilangan  heksadesimal  2A5C  akan  diubah menjadi  bilngan  biner  0010  1010  0101  1100. Sebaliknya,  bilangan  biner  dapat  diubah  menjadi bilangan  heksadesimal  dengan  cara  mengelompokkan setiap  empat  digit  dari  bilangan  biner  tersebut  dimulai dari  sigit  paling  kanan.  Sebagai  contoh, 0100111101011100₂  dapat  dikelompokkan  menjadi  0100 1111  0101  1110.  Sehingga:

0100₂ = 4₁₆,  MSB

1111₂ = F₁₆

0101₂ = 5₁₆

1110₂ = E₁₆,  LSB

Dengan  demikian,  bilangan  0100  1111  0101  11102 =

4F5E_16.

4. Bilangan  Biner  Pecahan

Dalam  sistem  bilangan  desimal,  bilangan  pecahan  disajikan dengan  menggunakan  titik  desimal.  Digit-digit  yang  berada di  sebelah  kiri  titik  desimal  mempunyai  nilai  eksponen  yang semakin  besar,  dan  digit-digit  yang  berada  di  sebelah kanan  titik  desimal  mempunyai  nilai  eksponen  yang  semakin kecil.  Sehingga

  0.1₁₀    =  10^-1       = 1/10

  0.10₁₀ =  10^-2-     =  1/100

  0.2     =  2 x 0.1  =  2 x 10-1,  dan  seterusnya.

Cara  yang  sama  juga  bisa  digunakan  untuk  menyajikan bilangan  biner  pecahan.  Sehingga,

  0.1₂   = 2^-1   =   ½, dan

  0.01₂ = 2^-2-  =  ½²  = ¼

Sebagai  contoh,

0.111₂       = ½ + ¼ + 1/8

                 = 0.5 + 0.25 + 0.125

                 = 0.87510

101.101₂   =  4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8

                 = 5 + 0.625

                 = 5.625₁₀

Pengubahan  bilangan  pecahan  dari  desimal  ke  biner  dapat dilakukan  dengan  cara  mengalihkan  bagian  pecahan  dari bilangan  desimal  tersebut  dengan  2,  bagian  bulat  dari  hasil perkalian  merupakan  pecahan  dalam  bit  biner.  Proses perkalian  diteruskan  pada  sisa  sebelumnya  sampai  hasil perkalian  sama  dengan  1  atau  sampai  ketelitian  yang diinginkan.  Bit  biner  pertama  yang  diperoleh  merupakan MSB  dari  bilangan  biner  pecahan.  Sebagai  contoh,  untuk mengubah  0.62510  menjadi  bilangan  biner  dapat dilaksanakan  dengan

       0.625 x 2  = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25

       0.25 x 2    = 0.5, bagian bulat   = 0, sisa = 0.5

       0.5 x 2     = 1.0,  bagian bulat   = 1 (LSB), tanpa sisa

      Sehingga, 0.625₁₀   = 0.101₂

5. Sistem  Bilangan  BCD

Sampai  saat  ini  kita  hanya  melihat  pengubahan  dari bilangan  desimal  ke  bilangan  biner  murni.  Pada  beberapa aplikasi,  misalnya  sistem  berdasar  mikroprosesor,  seringkali lebih  sesuai  apabila  setiap  digit  bilangan  desimal  diubah

menjadi  4  digit  bilangan  biner.  Dengan  cara  ini,  suatu bilangan  desimal  2  digit  akan  diubah  menjadi  dua  kelompok empat  digit  bilangan  biner,  sehingga keseluruhannya

menjadi  8  bit,  tidak  bergantung  pada  nilai  bilangan

desimalnya  sendiri.  Hasilnya  sering  disebut  sebagai  binary-coded  decimal  (BCD).  Penyandian  yang  sering  digunakan dikenal  sebagai  sandi  8421  BCD.  Selain  penyandian  8421 BCD,  juga  dikenal  sejumlah  penyandian  yang  lain.

Contoh

Ubah  25  menjadi  bilangan  BCD

Penyelesaian

2₁₀     =  0010  dan

5₁₀     =  0101

Sehingga,  25₁₀   = 0010   0101 BCD

6. Aritmatika  Biner

a. Penjumlahan  Biner

Penjumlahan  bilangan  biner  serupa  dengan penjumlahan  pada  bilangan  desimal.  Dua  bilangan  yang akan  dijumlahkan  disusun  secara  vertikal  dan  digit-digit yang  mempunyai  signifikansi  sama  ditempatkan  pada kolom  yang  sama.  Digit-digit  ini  kemudian  dijumlahkan dan  jika  dijumlahkan  lebih  besar  dari  bilangan  basisnya

(10  untuk  desimal,  dan 2  untuk   biner), maka  ada bilangan  yang  disimpan.  Bilangan  yang  disimpan  ini kemudian  dijumlahkan  dengan  digit  di  sebelah  kirinya,

dan  seterusnya.  Dalam  penjumlahan  bilangan  biner, penyimpanan  akan  terjadi  jika  umlah  dari  dua  digit yang  dijumlahkan  adalah  2.

Berikut  adalah  aturan  dasar  untuk  penjumlahan   pada

sistem  bilangan  biner.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1

Tabel  14.  menunjukkan  perbandingan  antara penjumlahan  pada  sistem  bilangan  desimal  dan  system bilangan  biner,  yaitu  823₁₀ + 238₁₀ dan 11001₂ + 11011₂.

Tabel  15.   Penjumlahan

a.       Penjumlahan  desimal

 

Mari kita perhatikan penjumlahan biner   dengan  lebih seksama.

Kolom  satuan         : 1  + 1  =  0, simpan 1

      Kolom 2-an       : 0 + 1 = yang disimpan = 0, simpan 1

      Kolom 4-an       : 0 + 0  yang disimpan = 1

      Kolom 8-an       : 1 + 1 = 0, simpan 1

      Kolom 16-an     : 1 + 1 yang disimpan  = 1, simpan 1

      Kolom  32-an      : yang  disimpan 1 = 1

Jika  lebih dari  dua  buah  digit  biner  dijumlahkan,  ada kemungkinan  yang  disimpan  l lebih  besar  dari  1. 

Sebagai contoh,

1 + 1 = 0, simpan 1

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1

Contoh  berikut  menunjukkan  penjumlahan  dengan

penyimpanan  lebih  besar  dari  1.

 1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1)

                       = (0, simpan 1) + (0, simpan 1)

                       = 0, simpan 2;

 1 + 1 + 1 + 1 + 1  = 1 + (1 + 1) + (1 + 1)

                                           = 1, simpan 2

         0 + yang disimpan 2 = 1, simpan 1

         1 + yang disimpan 2 = 0, simpan 2, dan seterusnya.

b.     Pengurangan  Biner

Pada  bagian  ini  hanya  akan  ditinjau  pengurangan bilangan  biner  yang  memberikan  hasil  positif.  Dalam  hal ini,  metode  yang  digunakan  adalah  sama  dengan  metode

yang  digunakan  untuk  pengurangan  pada  bilangan desimal.  Dalam  pengurangan  bilangan  biner  jika  perlu dipinjam  1  dari  kolom  di  sebelah  kirinya,  yaitu  kolom  yang mempunyai  derajat  lebih  tinggi. Aturan  umum  untuk  pengurangan  pada  bilanagan  biner adalah  sebagai    berikut  :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

 0 – 1 = 1, pinjam 1

  Contoh : Kurangilah 1111₂   dengan  0101₂

  Penyelesaian

Susunlah  dua  bilangan  di  atas  ke  dalam  kolom  sebagai

Berikut :

Secara  lebih  rinci,  dimulai  dari  LSB  (20 = 1)

Kolom  2⁰ 1 – 1 = 0

Kolom  2¹ 1 – 0 = 1

Kolom  2² 1 – 0 = 0

Kolom  2³ 1 – 0 = 1

Sehingga,  1111₂ – 0101₂ = 1010₂

Contoh   Kurangilah  1100₂  dengan  1010₂

Penyelesaian

Secara  lebih  terinci,  dimulai  dari  LSB  (20 = 1)

Kolom  2⁰ 0 – 0  = 0

Kolom  2¹ 0 – 1  = 1

Dalam  kasus  ini  kita  harus  meminjam  1  dari  bit  pada kolom  2².  Karena  datang   dari  kolom  2²,  maka  nilainya  2 kali  nilai  pada  kolom  2¹.  Sehingga,  1  (bernilai  2²) – 1 (bernilai  2¹)  =  1  (bernilai 1²).

Bila  meminjam  1  dari  kolom  di  sebelah  kiri maka  berlaku

aturan  umum 1 – 1  = 1

Kolom  2²  0 – 0 = 0

Nilai   1 dari  kolom  2  diubah  menjadi  nol  karena  sudah dipinjam  seperti  yang  ditunjukkan  dengan  anak  panah. Kolom 2³ 1 – 1 = 0 Sehingga,  1100₂ – 1010₂ = 0010₂

c.     Bilangan  Biner  Bertanda

Sejauh  ini  kita  hanya  melihat  bilangan  biner   positif  atau bilangan  biner  tak  bertanda.  Sebagai  contoh  bilangan biner  8-bit  dapat  mempunyai  nilai  antara:

0000  0000₂  = 00₁₀  dan  1111  1111₂  = 255₁₀ yang  semuanya  bermilai  positif,  tanda  ‘-‘           diletakkan  disebelah  kiri  bilangan  desimal,  misalnya  –25₁₀.  Dalam sistem  bilangan  biner,  tanda  bilangan  (yaitu  negatif)  juga disandikan  dengan  cara  tertentu  yang  mudah  dikenal dengan  sistem  digital.  Untuk  menyatakan  bilangan  negatif

pada  bilangan  biner,  bit  yang  dikenal  dengan   bit  tanda bilangan  (sign  bit)  ditambah  di  sebelah  kiri  MSB.  Bilangan biner  yang  ditulis  dengan  cara  di  atas  menunjukkan  tanda dan  besarnya  bilangan.  Jika  bit  tanda  ditulis  0,  maka

bilangan  tersebut  positif,  dan  jika  ditulis  1,  bilangan tersebut  adalah  bilangan  negatif.  Pada  bilangan  biner bertanda  yang  terdiri  dari  8-bit,  bit  yang  paling  kiri

menunjukkkan  besarnya.  Perhatikan   contoh  berikut  :

Bit   7        6       5          4           3              2           1         0

Bit    2⁷      2⁶      2⁵         2⁴          2³            2²           2¹         2⁰

tanda        (64)     (32)    (16)       (8)          (4)        (2)         1

  Maka, 0110  0111  =  +(64+32+4+2+1)  =  +103₁₀

1101  0101  =  -(64+16+4+2)  =  -  85₁₀

1001  0001  =  -(16  +  1)  = -19₁₀

0111  1111  =  +(64+32+16+8+4+2+1)  =  +127₁₀

1111  1111  =  -(64+32+16+8+4+2+1)  =  -  127₁₀

1000 0000  =  -0  =  0

0000 0000  =  +0  = 0

Dari  contoh  diatas  dapat  dilihat,  bahwa  hanya  karena tujuh  bit   yang  menunjukkan  besarnya  ,  maka  bilangan terkecil  dan  terbesar  yang  ditunjukan  bilangan  biner

bertanda  yang  terdiri  dari  8-bit  adalah  :

      [1]111 11112 = - 127₁₀ dan

      [0]111 11112 = + 127₁₀

Dengan  bit  dalam  kurung  menunjukkan  bit  tanda bilangan. Secara  umum,  bilangan  biner  tak  bertanda  yang  terdiri dari  n-bit  mempunyai  nilai  maksimum  M  =  2ⁿ – 1.

Sementara  itu,  untuk  bilangan  bertanda  yang  terdiri  dari

n-bit  mempunyai  nilai  maksimum  M  =  2 ^n-1  –  1.  Sehingga, untuk  register  8-bit  di  dalam   mikroprosesor  yang menggunakan  sistem  bilangan  bertanda,  nilai  terbesar

yang  bisa  disimpan  dalam  register  tersebut  adalah:

M   = 2(n-1) – 1

  = 2(8-1) – 1

  = 27 - 1

  = 12810  – 1

  = 12710

sehingga  mempunyai  jangkauan  –  12710  sampai  +12710.

d) Perkalian

Perkalian  pada  bilangan  biner  mempunyai  aturan  sebagai

berikut  :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

86

Perkalian  bilangan  biner  dapat  dilakukan  seperti  perkalian

bilangan  desimal.  Sebagai  contoh,  untuk  mengalikan

11102 = 1410  dengan  11012 = 1310  langkah-langkah  yang

harus  ditempuh  adalah  :

Biner                   Desimal

           1  1  1   0            1     4

               1  1  0   1                  1     3

                       -----------------------------              ----------               1  1  1   0                  4     2

                0   0  0   0                   1    4

                   1    1   1  0

                    1  1    1    0

                ----------------------------------- +       -------------- +

                1    0   1    1    0   1   1  0            1     8      2

Perkalian  juga  bisa  dilakukan  dengan  menambah  bilangan yang  dikalikan  ke  bilangan  itu  sendiri  sebanyak  bilangan pengali.

Contoh  di  atas,  hasil  yang  sama  akan  diperoleh  dengan

menambahkan  1112  ke  bilangan  itu  senidiri  sebanyak

11012  atau  tiga  belas  kali.

e) Pembagian

Pembagian  pada  sistem  bilangan  biner  dapat

dilakukan  sama  seperti  contoh  pembagian  pada  sistem

bilangan  desimal.  Sebagai  contoh,  untuk  membagi  110011

(disebut  bilangan  yang  dibagi)  dengan  1001  (disebut

pembagi),  langkah-langkah  berikut  perlu  dilakukan.

87

         Hasil             1   0  1

         Pembagi   1  0  0  1   1  1   0  0   1

                1  0    0   1

                             ------------------                 0  0    1   1  1   1

                    1   0  0   1

                                 -----------------                     Sisa                  1   1    0

Sehingga  hasilnya  adalah  1012,  dan  sisa  pembagian  adalah

1102.

Pembagian  bisa  juga  dilakukan   dengan  cara  menjumlahkan

secara  berulang  kali  bilangan  pembagi  dengan  bilangan  itu

sendiri  sampai  jumlahnya  sama  dengan  bilangan   yang

dibagi  atau  setelah  sisa  pembagian  yang  diperoleh  lebih

kecil  dari  bilangan  pembagi.

c. Rangkuman  6

1) Bilangan  desimal  adalah  sistem  bilangan  yang  berbasis  10

dan  mempunyai  sembilan  simbol  bilangan  yang  berbeda

:0,1,2,3,4...,9.

2) Bilangan  biner  adalah  sistem  bilangan  yang  berbasis  2  dan

mempunyai  2  simbol  bilangan  yang  berbeda:  0  dan  1

3) Bilangan  octal  adalah  sistem  bilangan  yang  berbasis  8  dan

mempunyai  8  simbol  bilangan  yang  berbeda:  0,1,2,3,...,7

4) Bilangan  hexa  desimal  adalah  sistem  bilangan  yang

berbasis  16  dan  mempunyai  simbol  bilangan  yang  berbeda:

0,1,2,3,...9,a,b,c,d,e,f.

5) Setiap  digit  biner  disebut  bit;  bit  paling  kanan  disebut  least

significant  bit  (lsb),  dan  bit  paling  kiri  disebut  most

significant  bit  (msb).

d.  Tes Formatif 6

1)  Ubah  bilangan  biner  berikut  ini  menjadi  bilangan  desi